Alıştırma:

$\displaystyle\large{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=?}$

Çözüm:

$f(x)=\large{\dfrac{1}{1+x^2}}$ fonksiyonu $(-\infty,+\infty)$ aralığında sürekli olduğundan herhangi bir $c\in\mathbb{R}$ için

$=\large\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{c}\frac{dx}{1+x^2}+{\displaystyle\int\limits_{c}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}}$ diyebiriz. Öyleyse

$=\displaystyle\lim\limits_{\mathbb{R} \to -\infty}\large{\int\limits_{\mathbb{R}}^{c}\frac{dx}{1+x^2}+\lim\limits_{\mathbb{R} \to \infty}{\displaystyle\int\limits_{c}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}}}$

$=\lim\limits_{\mathbb{R} \to -\infty} arctan x \Big|{\mathbb{R}}^{c}+ \lim\limits{\mathbb{R} \to \infty} arctan x \Big|_{c}^{\mathbb{R}}$

$=\lim\limits_{\mathbb{R} \to -\infty} (arctan c - arctan \mathbb{R})+ \lim\limits_{\mathbb{R} \to \infty} (arctan {\mathbb{R}} - arctan c)$

$\star$ Ara işlem:

$\lim\limits_{\mathbb{R} \to -\infty} (arctan \mathbb{R})= -\dfrac{\pi}{2}$ ve $\lim\limits_{\mathbb{R} \to \infty} (arctan \mathbb{R})= \dfrac{\pi}{2}$

olduğunu biliyoruz.

Dolayısıyla integralimizin sonucu

$\large{=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=\pi}$ olur. $\square$