$n\in\mathbb{N}$ ve $n≥3$ olsun. $n^{n+1}>(n+1)^n$ eşitsizliği sağlanır.
$n\in\mathbb{N}$ olmak üzere $n=3$ için $3^{3+1}>(3+1)^3$ olur.
($n=3$ için eşitsizlik sağlanır.)
$n=k$ için, $k^{k+1}>(k+1)^k$ ‘dir.
$n=k+1$ için, bu eşitliğin her iki tarafını
$\dfrac{(k+1)^{k+2}}{k^{k+1}}$ ile çarpalım. Öyleyse
$(k+1)^{k+2} > \dfrac{(k+1)^{2k+2}}{k^{k+1}}=\Big(\dfrac{k^2+2k+1}{k}\Big)^{k+1}=\Big( k+2+\dfrac{1}{k}\Big)^{k+1}>(k+2)^{k+1}$
$⇒(k+1)^{k+2} >(k+2)^{k+1}$ elde ederiz.
Bu durumda $n=k+1$ için de doğrudur.
Dolayısıyla $n\in\mathbb{N}$ olmak üzere her $n≥3$ sayısı için de eşitsizlik geçerlidir. $\square$